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Wollte jemand Griechisch (die griechische Sprache) schreiben, hätte er viel zu tun; besser ist, er schreibt griechisch, dann kriegt er seinen Text vielleicht mal fertig. 'Auf Griechisch' mag noch hingehen, obwohl man auch das für eine unnötige Großschreibung halten darf und vor der Reform hielt.

Das Adjektiv 'griechischschreibend' beschreibt eine Eigenschaft (ob das hier sinnvoll ist, lassen wir mal dahingestellt), die Wortgruppe 'griechisch schreibend' eine Tätigkeit. Dieser Unterschied ist durch die Reform allerdings weggefallen, und man kann schreiben, wie man will. Und wenn es einem behagt, dann kann man idiotischerweise auch folgendes schreiben:
Der Hund, ein Fleisch fressendes Tier, saß, fleischfressend, vor seiner Hütte.