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Er antwortete auf die Bitte, sich zu melden: „Danke für deinen Brief.“
Ohne das zweite Komma.
Wenn es ein Einschub in Gedankenstrichen wäre, müsste der abschließende Gedankenstrich meines Wissens ja auch gesetzt werden.
Beispiel:Er antwortete auf meine Bitte – welch Unverfrorenheit! –: „Mach es doch selbst!“
Im Übrigen ist der Satz ungünstig formuliert, weil nicht klar wird, ob die Parenthese anaphorisch (zurückverweisend) oder kataphorisch (vorausweisend) zu lesen ist.
Beste Grüße
Vollprofi