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> Kann man Fake news in einem deutschen Text auch
> zusammenschreiben?

Ja.

> Bis zur endgültigen Gewißheit habe ich mich gegen den
> Bindestrich und gegen die Zusammenschreibung entschieden und
> schreibe "Fake news".

Fake news ist falsch. News ist ein Substantiv und muss groß geschrieben werden. Man könnte allenfalls "fake News" schreiben (wenn man "fake" als Adjektiv interpretiert); aber für gewöhnlich wird in solchen festen fremdsprachigen Fügungen, wenn man die im Deutschen eigentlich nicht heimische Getrenntschreibung beibehält, auch das Adjektiv groß geschrieben.

Korrekte Schreibweisen:
Fakenews
Fake News
Fake-News
(fragwürdig: fake News)

> Komposita mit Fake news. Ein Beispiel: Falschmeldungen der
> Regierung sind das Regierungs-Fake-news, bzw.
> Regierungs-Fake-News/Regierungs-fake-news?

Entsprechend der Schreibweise: Regierungs-Fake-News oder Regierungs-Fakenews, wobei man solche Komposita natürlich am besten gar nicht verwendet.

> Wie ist das bei nur einer einzigen Falschmeldung? Mir ist noch
> nie der Singular von Fake news untergekommen. Produziert z. B.
> eine Regierung nur eine Falschmeldung, heißt es dann: "Die
> Regierung-Fake-new hat für Verwirrung gesorgt"? Oder: Die
> Fake news der Regierung hat für Verwirrung gesort?
> "News" suggeriert doch eine Mehrzahl, oder?

News ist im Englischen schwer einzuordnen. Grammatikalisch ist es am ehesten ein nicht zählbarer Singular, es hat aber auch Eigenschaften eines Pluralworts. Es heißt "the news is", nicht "the news are". Es gibt aber nicht "1 news" und schon gar nicht "1 new". Es lässt sich am ehesten aufs Deutsche übertragen, wenn man "the news" mit "das Neue" (als festen Begriff für Nachrichten) übersetzen würde. Im Englischen wird, wenn es um eine einzige Meldung geht ein weiteres Wort ergänzt, z.B. "news report" oder "news item". Da es im Englischen nicht so verwendet wird, sollte man es auch im Deutschen als Lehnwort nicht so verwenden. Wenn es wirklich sein muss, kann man sich auch mit einem Zusatz wie "die Fakenews-Meldung" behelfen. Alternativ kann man den Begriff Fakenews vorher einführen, wenn es einem darauf ankommt, und später, wenn es um die konkrete Meldung geht, auf eine deutsche Entsprechung wie Falschmeldung zurückgreifen. "Neuer Fall von Fakenews. Falschmeldung der burmesischen Regierung sorgt für Verwirrung."