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Hallo Sia
ohne „um“ (und ohne „sich“)
Gruß
Pumene
PS: In einer mündlichen Aussage würde das Perfekt bevorzugt:
Sie hat angeboten, auf meine kleine Tochter aufzupassen.
Sie hat sich als Babysitterin für meine kleine Tochter angeboten.
www.duden.de/rechtschreibung/anbieten
Das ähnlichste Beispiel im Duden (mit erweitertem Infinitiv) ist ohne „um“ formuliert (und nicht-reflexiv):
Er bot ihr an, sie nach Hause zu fahren.