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In der Konstruktion funktioniert es nur mit um. Da sie bereits sich anbietet, kann sie nicht auch noch (grammatikalisch gleichwertig) anbieten, auf die Tochter aufzupassen. Entweder bietet sie sich an oder sie bietet an, auf die Tochter aufzupassen. Wenn sie sich anbietet, dann um auf die Tochter aufzupassen. Das ist aber eine etwas umständliche Konstruktion und stilistisch sind die beiden Vorschläge von Pumene besser.