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> Bezieht sich das „fernab“ auf das Verb, also auf die Suche oder
> ist es eine Eigenschaft des Hauses, welches ich suche?

Ich denke, ebendies wird durch die gewählte Konstruktion deutlich gemacht: "fernab vom Meer" = Eigenschaft des Hauses; "fernab des Meeres" = Präposition

Entsprechend wäre "Ich suche ein Haus fernab des Meeres" nur eine Umstellung von "Fernab des Meeres suche ich ein Haus", würde also den Standort des Suchenden beschreiben und nicht den Standort des Hauses.

> Einen Genitiv „des Meeres“ könnte ich vermutlich auch durch die
> »vom-Form« „von[n de]m Meer“ ausdrücken.

Da kann ich nicht folgen. Einen Genitiv drückt man dadurch aus, dass man die Genitivform wählt. Und die Präposition "fernab" wird laut Duden mit dem Genitiv verbunden.

Möglicherweise meinst du, dass man statt des Genitivs eine Konstruktion mit "von" wählen kann. In Verbindung mit Präpositionen ist das aber m. E. nicht üblich bzw. umgangssprachlich, im Gegensatz zum Genetivus possessivus: die Schönheit des Meeres / die Schönheit vom Meer.

Gruß
Julian