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> Danke, diese Erklärung hat mich zumindest etwas schlauer
> gemacht. Verstehe ich es richtig, dass im zweiten Nebensatz
> Subjekt, Objekt und Prädikat enthalten sind, im ersten aber
> nicht? Und im ersten das Wort "zu" anzeigt, dass ein
> Komma nicht gesetzt werden muss, aber kann?

Im ersten Beispiel gibt es nur einen Satz - einen Hauptsatz mit einer Infinitivgruppe
Infinitivgruppen sind keine Sätze; sie sind lediglich satzwertig.

Das Komma bei Infinitivgruppen

Bei Infinitiven mit zu sind zwei Gebrauchsweisen zu unterscheiden:

1. Der Infinitiv bildet, gegebenenfalls zusammen mit weiteren Wörtern oder Satzteilen, eine Wortgruppe, die einem Nebensatz nahekommt. Man spricht dann von satzwertigen Infinitivgruppen. Infinitivgruppen dieser Art werden tendenziell mit Komma abgetrennt.

2. Der Infinitiv mit zu bildet mit einem übergeordneten Verb ein komplexes Prädikat. In diesem Fall wird kein Komma gesetzt.

Da diese Konstruktionsweisen unterschiedlich gut zu erkennen sind, gilt ein Teil der Kommaregeln für satzwertige Infinitivgruppen fakultativ (D 116 sowie D 117, Punkt 4), ein anderer Teil hingegen obligatorisch (D 117, Punkte 1–3). Zu Infinitivgruppen, die gewöhnlich nicht mit Komma abgetrennt werden, vgl. die Erläuterung zu D 117.
D 116:

(Satzwertige) Infinitivgruppen kann man durch Komma abtrennen, um die Gliederung des Satzes deutlich zu machen oder um Missverständnisse auszuschließen <§ 75 E2>.

Sind sie eingeschoben, ist gegebenenfalls am Anfang und am Schluss der Wortgruppe ein Komma zu setzen (= paariges Komma oder gar kein Komma).

Sie weigerte sich[,] zu helfen.
Sie weigerte sich[,] uns zu helfen.
Sich selbst zu besiegen[,] ist der schönste Sieg.
Wir empfehlen[,] ihm zu folgen.
Wir empfehlen ihm[,] zu folgen.
Er versuchte[,] ins Haus zu gelangen[,] und schlug ein Fenster ein.

Quelle: Duden

Und für das zweite Beispiel kann ich mich nur wiederholen:
In Beispiel 2 haben wir es mit zwei Sätzen zu tun. Der erste ist ein Hauptsatz (finites Verb steht an 2. Stelle), der zweite ist ein Nebensatz (finites Verb steht am Satzende). Zwischen Haupt- und Nebensätzen steht immer ein Komma.
Der Nebensatz hat (natürlich) Subjekt und Prädikat - sonst wäre er kein Satz. Ein Objekt hat dieser Nebensatz hier nicht.

Gruß von Kai