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Ist "dies" deren Wunsch oder handelt "die Geschichte" vom Wunsch der Familie?

Wenn Ersteres der Fall ist, passt der Genitiv ("deren") so. Sollte Letzteres stimmen, müsste auch "Wunsch" im Genitiv stehen und nicht im Nominativ wie im Augenblick. Es müsste also "deren Wunsches", "deren Wunschs" oder alternativ konstruiert "von deren Wunsch" heißen.

Für mich persönlich würde der Satz aber besser klingen, wenn auch "deren" ersetzt würde: "Dies ist die Geschichte einer Familie und ihres Wunsches, mehr zu erreichen." ;)