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Hier hilft der Duden, Band 9, der Zeitungsnamen sogar ein eigenes Lemma widmet. Ganz klar: Zeitungsnamen werden gebeugt.

Es heißt also:
- laut den „Badischen Neuesten Nachrichten“
- laut der „Rheinischen Post“
- laut der „Augsburger Allgemeinen“

Nach Angaben des Dudens wird die Präposition laut „mit Dativ, auch mit Genitiv“ verwendet.
Hier die gebeugten Formen im Genitiv:
- laut der „Badischen Neuesten Nachrichten“
- laut der „Rheinischen Post“
- laut der „Augsburger Allgemeinen“