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> Wir haben herausgefunden, wie viel Zeit Telefon- oder
> Projektarbeit bei den Abteilungen in Anspruch nehmen ((nimmt?)).

Der Singular ist hier üblicher.

A oder B
entweder A oder B » Verb im Singular oder Plural
A bzw. B
Wenn die Subjektteile mit oder, entweder...oder oder beziehungsweise verknüpft sind und im Singular stehen, steht das Verb meistens im Singular:
Dein Vater oder deine Mutter wird dich abholen.
Diese Fragen muss das Parlament oder die Regierung beantworten.
Entweder der Angeklagte oder der Zeuge lügt.
Den Inhalt des Kurses kann die Lehrerin bzw. der Lehrer frei gestalten.

Selten wird in diesen Fällen die Verbform im Plural verwendet:
Den Inhalt des Kurses können die Lehrerin bzw. der Lehrer frei gestalten.

https://dict.leo.org/grammatik/deutsch/Wort/Verb/Kategorien/Numerus-Person/ProblemNum.html?lang=de&lang=de#id=1.3.2.2.3.b