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> Aber der Satz ist doch von vorn bis hinten völlig verpfuscht!
>

> Wer redet da wen an? Vom Sinn her redet doch wohl die Klinik die
> Ärzte an; vom Satzbau her redet jedoch ein nicht näher
> bestimmtes Agens die Klinik an.

Wenn die Klinik in der dritten Person Singular erscheinen soll, dann so:

Als psychosomatische Fachklinik[,] ausgestattet mit modernsten Behandlungsmöglichkeiten und einem breiten Leistungsspektrum[,] ist es ihr möglich, ihren Patienten ein individuelles Behandlungsangebot zu bieten.

[,]=Komma optional

Darüber hinaus eine Anmerkung zu der Formulierung: ein Angebot bieten (Dopplung).

Ich schlage vor: (...) ist es ihr möglich, für jeden ihrer Patienten ein individuelles Behandlungsangebot maßzuschneidern.