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> Dann kam mir ein wässriges Himbeereis in den Sinn, dessen Namen
> ich vergessen hab, das aber in meiner Erinnerung das billigste
> war und, wie ich vermute, nicht mehr als einen Schilling
> kostete.
Ich sehe keinen Spielraum bei der Deklination von »Name« (Nom. Sg.) und »Namen« (Akk. Sg).
https://de.wiktionary.org/wiki/Name
Deine zweite Version im Akkusativ ist also richtig. Du könntest und solltest allerdings den Nominativ benutzen, wenn du davon sprichst, dass »dessen Name (dir) entfallen ist«.