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Es gibt definite Nominalphrasen wie «Hans» und indefinite wie «ein Mann» (das kann einer von mehreren sein). Indefinite Terme in mathematischer Notation werden in Erklärungen, was eine Funktion ist, oft außer Acht gelassen (klar, mit grammatikalischen Sonderfällen ist es zu abschweifend), aber solche Terme kommen vor, zum Beispiel mit dem ±-Zeichen oder bei unbestimmten Integralen («plus C» nicht vergessen, gell?), und da gegenüber der Relationsschreibweise ein Unterschied besteht, leuchtet «Funktion» durchaus ein. Ist «mehrwertige Funktion» also wirklich eine Fehlbenennung (so etwas wird ja gerne behauptet)? Eigentlich verbergen sich dahinter verschiedene Phänomene:

1) Es kann sein, dass ein Term für einen Funktionswert indefinit ist. In der formalen Semantik ist es unüblich, Fälle wie «ein Elternteil von Hans» mit einer ungewöhnlichen Art von Funktion zu erklären, wir können das in dem Fall trotzdem tun, weil eine Reifizierung möglich ist («Die Quadratwurzelfunktion bildet −1 auf ±i ab»). Unglücklich ist da eher «mehrwertig», denn bezeichnet wird immer noch nur ein Wert, und dass mehrere in Frage kommen, begründet für mich nicht das Adjektiv, wir nennen ja auch nicht eine herkömmliche Funktion mit verschiedenen Werten für verschiedene Argumente «mehrwertig»; besser wäre vielleicht «indefinitwertige Funktion».

2) Es kann sein, dass ein Zweig gewählt wird, wo zu jedem zulässigen Funktionsargument nur ein Wert möglich ist. In diesem Fall kann ein Funktionssymbol wie «Log_e» als indefinit verstanden werden, die Besonderheit liegt hier also nicht in der Funktion, sondern im Funktionssymbol!

3) Es kann sein, dass ein Term pluralisch zu verstehen ist. Das Thema haben Alex Oliver und Timothy Smiley abgehandelt. Hier passt «mehrwertige Funktion» wirklich.

Feststellbar ist folgende Struktur: Vor einem Relationssymbol (sozusagen in Subjekt-Position) wird ein nicht näher bestimmter Wert herausgegriffen (aus meiner Sicht ohne Allquantifizierung), nach einem Relationssymbol (sozusagen in Objekt-Position) reicht die Existenz eines passenden Wertes, damit der Satz wahr ist, zum Beispiel gilt O(x) = O(x²) (siehe: Landau-Symbole), aber nicht unbedingt O(x²) = O(x). Dazu folgender Vergleich: Ein Daumen ist ein Finger, aber ein Finger nicht unbedingt ein Daumen; es kommt eben darauf an, welcher Finger. Verwirrend ist es mit der Verneinung: Wenn nur die Relation verneint ist (etwa durchgestrichen geschrieben), reicht wohl wieder ein passender Wert für den zweiten Term, damit der Satz (mit der verneinten Relation) wahr ist, im Gegensatz dazu kann auch der gesamte Satz verneint werden (etwa mit vorangestelltem «¬»). Wie sieht es eigentlich aus, wenn noch ein Relationssymbol hinzukommt, kommen für den mittleren Term dann innerhalb der zweiten (eingebetteten) Relationsaussage nur Werte in Frage, die in die erste Relationsaussage reinpassen? Und was ist, wenn «R(x, y)» statt «x R y» geschrieben wird, sind dann beide Terme wie in Objekt-Position zu behandeln?

Offenbar wird die Struktur nicht immer streng eingehalten, denn bei der Definition einer Funktion sind wir gewohnt, das Funktionszeichen vor dem Gleichheitszeichen zu schreiben, so schreibt Gowers (für eine indefinitwertige Funktion) «g(a/b, c/d) = (a + c)/(b + d)». Nach besagter Struktur wäre eigentlich «(a + c)/(b + d) = g(a/b, c/d)» zu erwarten. Gowers verfehlt den Punkt, wenn er meint:

The real question we are asking is this: when we use the words “well defined”, what are we referring to? It can’t be a function, because a function is a function is a function and that’s all there is to it. Is it something like “an attempted definition of a function”? That seems a bit odd: we define things, not definitions. If we wanted to say that a definition really did specify a function, then surely we would just say “This definition is good.” So what kinds of objects are there that are sometimes functions (if they are well defined) and sometimes not functions (if they are not well defined)?

Es geht bei «wohldefiniert» nicht darum, definitwertige Funktionen von anderen Funktionen zu unterscheiden, sondern wirklich darum, dass eine Definition sauber ist. Nach strenger Lesart ist g (siehe oben) nicht wohldefiniert, nach einer weniger strengen, die indefinite Terme in dieser Reihenfolge akzeptiert, aber sehr wohl. Wenn g nicht wohldefiniert ist, dann gibt es g gar nicht (das ist als äußere und nicht als innere Verneinung zu verstehen!) – oder für g wurde einfach eine ungeeignete Definition angegeben, ggf. kann eine bessere her.