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Des Nächtens gibt es schon, weil etliche Leute meinen, dass es diesen Ausdruck gibt! Offiziell gibt's ihn allerdings nicht!
Hierbei handelt sich jedenfalls um eine bemerkenswerte Blüte des Analogismus, eines extremen Analogismus:
Schon "nachts" ist eine kuriose Bildung, da das Wort "Nacht" in keinem Kasus ein angehängtes s besitzt. Dies gelangte hierhin analog zu "morgens" und "abends", eines deklinationsgerechten Genitivus absolutus temporalis.
Das dudentolerierte "nächtens" geht noch einen Schritt weiter und hängt der Nacht dann noch unter Analogiezwang eine ansonsten nicht motivierte Endung "-ens" an, wodurch sich die Nachtzeit auch klanglich zu "morgens" und "abends" gesellt.
Da man statt "morgens" auch "des Morgens", statt "abends" auch "des Abends" sagen kann - diese Genitive also auch mit Artikel verwenden kann -, lag nun die Bildung "des Nächtens" nahe - eine Bildung von exaltiert-poetischer Grazie, die noch nicht, aber möglicherweise bald auch vom Deutschlehrer akzeptiert wird.