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> wenn ich einen Brief an den Herr Prof. Dr. ... zu schreiben
> habe, sage ich "Sehr geehrter Herr Professor Dr. ...."
> oder nehme ich nur "Sehr geehrter Herr Professor
> ....".

Man lässt den Doktor weg und schreibt den Professor aus, entweder allein stehend oder gefolgt vom Namen. In der Adressierung verwendet man hingegen, wie Du es richtig dargestellt hast, die Abkürzungen "Prof. Dr.".

Also:
Herrn Prof. Dr. Fabian Feinstein

Sehr geehrter Herr Professor [Feinbein],
...

Bei Frauen natürlich "Frau Professorin"*.

Grüße
Julian

* Titel oder Berufsbezeichnung des Mannes auf die Frau zu übertragen gilt als veraltet, die Frau des Professors Feinbein redet/schreibt man also NICHT mit "Frau Professor Feinbein" an. [Analog müsste man sonst auch den Gatten der Professorin Feinbein mit "Herr Professorin Feinbein" anreden.]