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> gibt es eine Grammatik-Regel, die den Ausdruck "mit Klick
> auf den Button" verbietet? Muss da ein Artikel vor
> "Klick" stehen, oder ist dieser Ausdruck auch ohne
> Artikel grammatikalisch korrekt?

Grundsätzlich ›verboten‹ ist die artikellose Schreibweise in diesem Fall bestimmt nicht. Ich denke, man kann den Artikel durchaus weglassen, sofern es sich innerhalb eines Textes, beispielsweise einer Software-Anleitung o. Ä., um eine immer wiederkehrende Verbindung handelt.

1.1 Präpositionalgruppen mit / ohne Artikel
In der Regel folgt auf eine Präposition eine vollständige Nominalgruppe. Jedoch wird ein Artikel im Allgemeinen nicht gesetzt
— bei häufig gebrauchten und oft formelhaften Verbindungen aus Präposition und nicht näher bestimmtem Substantiv: bei Strafe verboten […]

© Duden — Richtiges und gutes Deutsch, 6. Aufl. Mannheim 2007 [CD-ROM]

Vgl. auch die Zahl der Google-Treffer für mit einem Klick auf den und mit Klick auf den.

Gruß
Simon