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Achtung! Der Augangssatz steht bereits im Konjunktiv, allerdings gemischt Konjunktiv 1 und 2!

Der Sinngehalt der Formen ist damit in dem losgelösten Satz nicht eindeutig zu erfassen
"Wenn ... seien" ist zumindest ungewöhnlich, nach einem "wenn" steht normalerweise der Irrealis, also "wäre".
Sollte es sich um eine indirekte Rede handeln, verwendet man besser nicht "wenn", sondern "sobald" oder "Da".
"Wenn er besäße" ist Konjunktiv 2 und drück einen unwirklichen oder zumindest noch nicht verifizierten Sachverhalt aus, gleiches gilt für "sollte" als Konsquenz im Haupsatz.

Wir haben also die Wahl zwischen verschiedenen Formen

1. Indirekte Rede
"Da zugunsten dieses Kandidaten genügend Anträge eingegangen seien und er gleichzeitig genügend Qualifikationen besitze, solle ... ihn ... ernennen"

2. Indirekte Rede in der Vergangenheitsform
"Da zugunsten .... eingegangen wären und er gleichzeitig ... besäße, sollte ... "

2a) Form mit "wenn", die eine unbestätigte Vermutung ausdrückt.
"Wenn zugunsten ... eingeangen wäre und " [usw.]

4. vollendeter Nicht-Eintritt (Irrealis)

"Wenn zugunsten .... eingegangen wären und er gleichzeitig .... besessen hätte, hätte ihn .... ernannt" (hier geht kein "soll")
oder "hätte ihn ... ernennen müssen."

Im ersten Fall waren die Voraussetzungen nicht gegeben, im zweiten ist bei der Entscheidung ein Fehler passiert. Beides Mal ist auch möglich, dass von der nicht eingetretenen Ernennung erst auf das Nicht-Vorliegen der Voraussetzungen rückgeschlossen werden soll.

Die Mischform des Originalsatzens jedenfalls bleibt unklar!