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> Er fängt an[,] die Fliege zu jagen, muss jedoch sehr vorsichtig sein, um
> nichts kaputt zu machen.

> Ist das erste Komma notwendig?

Es ist erlaubt, aber nicht notwendig.

> Ist das dann die §75,3? Man könnte hier ja
> noch "damit2 ergänzen. Dann hätte man ein hinweisendes Wort. Also:

> er fängt [damit] an, die Fliege zu jagen,...

Wenn das hinweisende Wort "damit" dasteht, ist das Komma Pflicht, ja.

> und noch eine:

> Er beschließt[,] den Mann zu erwürgen, um nicht selbst zu sterben.

> Kommt da ein Komma nach beschließt? Ist das auch wieder §75,3?

Lieber Peter, §75 besagt, dass das Komma Pflicht ist, wenn
(1) die Infinitivgruppe mit um, ohne, statt, anstatt, außer, als eingeleitet wird,
(2) diese von einem Substantiv abhängt oder
(3) sie von einem Korrelat/Verweiswort abhängt.

Keiner der drei Fälle trifft auf das erste Komma deines Satzes zu, darum ist es zu entfernen.

Schöne Grüße
Klaus