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Lassen wir den "Wie-Test" mal beiseite.
> Was ist mit "..lädt uns zum italienisch Kochen ein" oder von mir aus auch "zum gemeinsamen Kochen".
Zum italienisch Kochen geht nicht, da sich das Adjektiv mit dem Nomen verändern muss: zum italienischen Kochen also - oder aber zum Italienischkochen.
Aber: ... italienisch (zu) kochen ist immer gut.
Gruß von Kai