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> 1. Gibt es einen Infinitiv von "verschollen"? So etwas
> wie "verschallen" liegt ja nahe, ist mir aber nicht
> bekannt...

Mit "verschallen" bist Du durchaus auf der richtigen Spur:

verschollen:

Das Adjektiv ist eigentlich das 2. Partizip des wenig gebräuchlichen starken Verbs verschallen »verklingen« (vgl. den Artikel Schall). Es bedeutet also eigentlich »verhallt, verklungen« und gilt seit dem Ende des 18. Jh.s als gerichtlicher Ausdruck: Verschollen ist, von wem man seit langem nichts mehr gehört hat und wer sich auf wiederholte öffentliche Aufforderung nicht meldet.
Duden - Das Herkunftswörterbuch, 3. Aufl. Mannheim 2001 [CD-ROM]

> 2. Was ist der Infinitiv von "ich möchte"? Wohl kaum
> "mögen", oder? Und "möchten" gibt's meiner
> Ansicht nach nicht.

"Ich möchte" ist der Konjunktiv II zu "mögen", zu "möchte" gibt es aber keine eigene Infinitivform.

> 3. Wie substantiviere ich richtig:
> a) das um das Haus Laufen/ das Um das Haus laufen/ das
> Um-das-Haus-laufen?
> b) das zu Fuß Gehen/ das Zu Fuß gehen/ das Zu-Fuß-gehen?
> c) das sich Ärgern/ das Sich ärgern/ das Sich-ärgern?
> d) das warten Lassen/ das Warten lassen/ das Warten-lassen?
> e) das Musik Hören/ das Musik hören/ das Musik-hören?

a) das Um-das-Haus-Laufen
b) das Zu-Fuß-Gehen / das Zufußgehen
c) das Sich-Ärgern / das Sichärgern
d) das Warten-Lassen / das Wartenlassen
e) das Musik-Hören / das Musikhören

Rein formal ist auch "das Umdashauslaufen" richtig, ebenso wie "das Umdashauslaufenunddabeisingen", aber:

Substantivierte Infinitive mit mehreren Bestandteilen schreibt man mit Bindestrichen, wenn sonst unübersichtliche und schwer lesbare Aneinanderreihungen entstehen.
© Duden - Richtiges und gutes Deutsch, 6. Aufl. Mannheim 2007 [CD-ROM]

Grundregel bei Bindestrichkonstruktionen: Erstes Wort großschreiben, letztes Wort großschreiben, dazwischen, wie man es auch alleinstehend schreiben würde.

> 4. Heißt es "er befasst sich mit dem Thema" oder
> "er befässt sich mit dem Thema"?

... befasst ...

Grüße
Julian