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> 1. das Urteil des Landgericht Hamburg,
> 2. das Urteil des Landgerichts Hamburg,
> 3. das Urteil des Landgericht Hamburgs oder
> 4. das Urteil des Landgerichts Hamburgs?

Hamburg ist ein überschaubarer Stadtstaat, weshalb es dort auch nur ein Landgericht gibt. Deshalb sind dort, anders als in Flächenbundesländern, wo es mehr als nur ein Landgericht gibt, die Varianten 2 und 4 korrekt.

Allerdings handelt es sich bei Landgericht Hamburg auch um einen Eigennamen, weshalb man die Variante 2 bevorzugen sollte. Du würdest ja auch von der Küche des Restaurants »Müller« reden und nicht von der Küche des Restaurants »Müllers«

Die Versionen 1 und 3 sind eindeutig falsch.