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> In jedem
> Fall ist "was sie sonst für ihre Reise brauchte" ein
> Nebensatz und in Kommas einzuschließen.

Eben, und wenn diese einschließenden (zwei!) Kommas fehlen, kommt das Satzgefüge durcheinander. Deshalb sind die Beispiele unpassend, wo der Nebensatz oder die erweiterte Infinitiv-Ergänzung am Satzanfang oder Satzende stehen.

Stell mal den Satz um:
Er machte, um seinem Freund zu schaden oder aus Gedankenlosigkeit(,) eine falsche Aussage.

Ah, es zeigt sich wieder, das viele Probleme sich lösen, wenn man Satzglieder umstellt. Jetzt scheint mir das zweite Komma doch eher weglaßbar, was bedeutet, auch das erste Komma im anders gestellten Satz wäre weglaßbar:

Er machte(,) aus Gedankenlosigkeit oder um seinem Freund zu schaden, eine falsche Aussage.