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> Es muss hier doch „betraute“ heißen, oder?
Nein, betrauten

https://de.wikipedia.org/wiki/Deutsche_Deklination#Regeln_für_die_Bildung_der_Deklinationsformen

Dativ: mit der kalten Milch

Gruß

Pumene

Nachträgliche Korrektur:

richtig ist hier die (schwache) Endung -e des weiblichen Akkusativs Singular:

- für die betraute Person
- für die damit betraute Person
- für die mit der Leistung betraute Person

Vielleicht verbinden Ihre Ohren die Wortgruppe „betraute Person“ fälschlich mit dem „mit“ von „mit der Leistung“, weil es näher beim Adjektiv steht als „für“. Vgl.

- mit der betrauten Person

Die Wortgruppe „betraute Person“ ist aber von „für“ und nicht von „mit“ abhängig.

Nebenbemerkung: Solche verschachtelten Formulierungen können nicht nur bei der Formulierung, sondern auch beim Verständnis für Probleme sorgen. Es lohnt sich deshalb häufig, eine leichter verständliche Formulierung zu erwägen:

- Übernommen werden die Kosten für die mit der Leistung betraute Person.
= Übernommen werden die Kosten für die Person, die mit der Leistung betraut ist.
= Wir übernehmen die Kosten für die Person, die mit der Leistung betraut ist.