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Hallo Bettina,
ich habe mal ergänzt und leicht umgestellt:
Alkoholkranke trinken oft heimlich, weil sie sich ihrer Sucht schämen, und versuchen daher, sie unentdeckt zu lassen.
Komma nach "schämen" auf jeden Fall, da es den Nebensatz abschließt und nach "und" ein weiterer Hauptsatz folgt.
LG Adele