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> ...ich wurde gefragt, ob ich eine Begleitung übernehmen könnte
> (oder: könne ?)

Nach der Grammatik markiert meist der Konjunktiv 1 die indirekte Rede. “Kannst du mir helfen?” –> Er fragte mich, ob ich ihm helfen könne.
Und der Konjunktiv 2 Vorgestelltes, Mögliches oder ist einfach nur höflich. “Könntest du mir helfen?“ –> Er fragte mich, ob ich ihm helfen könnte.”

Aber in anderen Situationen bekommt das eine andere Abtönung.

1. Paul wurde vom Verlag gefragt, ob er eine Kurzgeschichte schreiben könne.
(Paul wurde gefragt, ob er schreiben könne.)

2. Paul wurde vom Verlag gefragt, ob ER die Kurzgeschichte schreiben könnte.

Der Konjunktiv 1, “könne”, distanziert sich von mir, der Fragende weiß nicht so viel von mir. “könne” impliziert für mich die Frage nach der prinzipiellen Fähigkeit, d.h. ob ich imstande bin so etwas zu tun.

“könnte” ist für mich die höfliche Frage danach, ob ich gewillt bin das zu tun, es hinterfragt nicht meine Fähigkeit hierzu.

Im ersten Falle, “könne”, würde ich antworten, “Ja, so was habe ich drauf”.
Im zweiten Falle, “könnte”, würde ich zurückfragen, “Ist sie hübsch?”.