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> Meine Frage ist nun, welche dieser beiden Schreibungen wann
> genutzt wird? Entscheidend ist hier sicherlich die Betonung.
> Entweder liegt die Hauptbetonung auf "dort" und eine
> Nebenbetonung auf "hin" oder die Hauptbetonung liegt
> auf "hin", während "dort" unbetont ist.

Du vermutest wahrscheinlich wie ich, dass die trennbare Verbpartikel »hin« betont ist, während ein dem Adverb »dort« zugeschlagenes »hin« unbetont ist.

> Und dann gibt es auch noch eine dritte Möglichkeit der
> Aussprache, bei der die Hauptbetonung auf "gehen" liegt
> (wenn die Art die Fortbewegung fokussiert wird).

Auch da stimme ich dir zu.

Das Valenzwörterbuch von GRAMMIS hat zwar keinen Eintrag zu »hingehen«, wohl aber einen zu »hinfahren«.
Analog müsste auch das Verb »hingehen« in erster Linie ein Subjektkomplement und eine Direktivergänzung haben. Allerdings weist das Valenzwörterbuch darauf hin, dass „hinfahren (…) häufig in Verbindung mit einer statischen AdvP [da, dort, hier, wo] statt fahren in Verbindung mit einer direktivischen AdvP [dorthin, hierhin, wohin] verwendet (wird)“.