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> Oder sind beide Bedeutungen möglich?

Ja. Mit "Bekanntschaft" kann sowohl das Verhältnis zur Person als auch die Person bezeichnet werden. Letzteres gilt dabei auch keineswegs als umgangssprachlich.

Meinem Sprachgefühl nach birgt "Bekanntschaft" noch ein etwas höheres Maß an Unverbindlichkeit (zum Beispiel "Er brachte seine neue Bekanntschaft mit"); der Ausdruck wird gerne gebraucht, um Personen zu bezeichnen (und gegenüber "Bekannten" abzugrenzen), die man erst vor kurzem kennengelernt hat. Wobei da auch eine amouröse Komponente mitschwingen kann ("kann mehr draus werden"), aber nicht muss.

Grüße
Julian