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> Rechtschreibrat
> Paragraf 79 E1: (2) (Seite 148)

> Folgt der Trägersatz oder ein Teil davon nach der angeführten
> Einheit, steht nach dem schließenden Anführungszeichen ein
> Komma.

> ...

> Sie sagte: "Ich komme gleich wieder", und holte die
> Unterlagen. Sie fragte: "Brauchen Sie die
> Unterlagen?", und öffnete die Schublade.

Im Satz des TE schließt „oder“ nicht an einen Trägersatz an. „oder“ verknüpft hier lediglich zwei direkte Fragen.

Zwischen die Glieder einer Aufzählung setzt man ein Komma. Nebenordnende Konjunktionen wie und, oder, bzw., sowie, wie [auch], entweder – oder, sowohl – als/wie auch, nicht/weder – noch stornieren das Komma (zitiert aus: https://www.duden.de/sprachwissen/sprachratgeber/Zeichensetzung-am-Ende-von-Aufzahlungen#google_vignette)

Ergo: Man sollte nicht fragen: „Darf ich Ihnen die Jacke abnehmen?“ oder: „Was möchten Sie trinken?“

Dieses „und“ in Paragraf 79 E1 ist an einen übergeordneten Begleitsatz („Sie sagte“ bzw. „Sie fragte“) angebunden; die direkte Rede in diesem Fall ist eine Art Einschub, der mit einem Komma endet.

Der Teil des Gesamtsatzes, der mit „und“ anfängt, ist eine Weiterführung des Begleitsatzes (zitiert aus: https://blog.leo.org/2023/12/08/die-direkte-rede-und-das-komma-vor-und)

Sie sagte xxx und holte die Unterlagen.
Sie fragte xxx und öffnete die Schublade.