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Nummer drei ist tatsächlich richtig, aber veraltet. Heutzutage würde man sagen: „Der Lieblingshund meiner Mutter”

Was du in der Stadt gehört hast, ist eine in gewissen Teilen Deutschlands verbreitete besitzanzeigende Form mit dem Dativ, die allerdings als falsch gilt. Auf ihr basiert auch der Titel von Bastian Sicks Buchreihe Der Dativ ist dem Genitiv sein Tod.