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> (1) "recht haben" ist korrekt, "rechthaben" aber
> falsch.

Beim Bestandteil "recht" in "recht haben" handelt es sich um ein verblasstes Substantiv, eine Besonderheit, die den Reformern 1996 offenbar ein Dorn im Auge war, worauf sie in diesem Bereich gründlich aufräumten. 2004 (oder 2006, das weiß ich aus dem Kopf jetzt nicht genau) sah man dann ein, dass die Großschreibung "Recht haben" eben doch nicht mit Fügungen wie "Glück haben" oder "Erfolg haben" gleichsetzbar ist. Man kann sagen "Wie recht/Recht du doch hast!", aber eben nicht "Wie Glück du doch hast!". Daher ließ man, wohl leicht zähneknirschend, in diesem und in ähnlichen Fällen die Kleinschreibung zumindest fakultativ wieder zu. Hier die entsprechende Regel, wie es früher war:

R64 In vielen stehenden Verbindungen mit Verben wird das in
verblaßter Bedeutung gebrauchte Substantiv klein geschrieben.

schuld sein, feind sein, willens sein
Mir ist angst. Aber: Ich habe Angst.
Das ist schade. Aber: Das ist ihr eigener Schaden.
recht bekommen, aber: sein Recht bekommen
· In festen Verbindungen mit Verben werden die Wörter bang[e], gram,
leid, weh klein geschrieben, da es sich nicht um die Substantive die Bange, der
Gram, das Leid, das Weh handelt, sondern um alte Adjektive oder Adverbien.

Er macht ihm bange. Aber: Er hat keine Bange.
Sie ist mir gram. Aber: Ihr Gram war groß.
Es tut ihm leid. Aber: Ihm soll kein Leid geschehen.
Es ist mir weh ums Herz. Aber: Es ist sein ständiges Weh und Ach.
(c) Dudenverlag (1991)

Die Schreibung "rechthaben" galt allerdings auch damals nicht als korrekt.

http://www.korrekturen.de/wortliste/recht_haben.shtml

> (2) Indes ist "acht geben" falsch und "achtgeben"
> korrekt.

Hier hatte man wohl versucht, mit der Schreibung "Acht geben" die unterschiedlichen Schreibweisen von früher "auf etwas achtgeben", aber: "auf etwas größte Acht geben" zu vereinheitlichen.

http://www.korrekturen.de/wortliste/acht_geben.shtml

> (3) Weiterhin sind "gefahr laufen" und "gefahrlaufen"
> beide falsch.

Ein Sonderfall: Die Wendung "Gefahr laufen" wurde schon immer so geschrieben und durch die Rechtschreibreform gar nicht berührt, es handelt sich um eine Anlehnung an das französische courir de risque.

> OK, man könnte in der Tat sagen, achtgeben ist eine Zusammensetzung,
> und "recht haben" eher nicht.

So ist es. Bei "achtgeben" wird das darin steckende Substantiv "Acht" kaum noch als solches empfunden.

Gruß
Julian