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> Welche Schreibweise ist richtig? Hat das mit Bäumen oder Völkern
> zu tun, wenn man "ein Projekt stämmen" möchte?

Stemmen ist richtig. Mit Stamm hat das sprachgeschichtlich nichts zu tun, möglicherweise aber mit stammeln: stemmen wird meist zurückgeführt auf eine Wortwurzel mit der Bedeutung "hemmen, stauen" (die kann aber auch "anstoßen" und "stottern" bedeuten).
Mit der Schreibung hat das allerdings wenig zu tun, schließlich heißt unser Stamm auf Englisch stem.

Quellen: Etymologisches Wörterbuch des Deutschen (dtv), München ²1993
Wolfgang Pfeifer u.a.: Etymologisches Wörterbuch des Deutschen, München ²1993

Gruß,
Andreas