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1.) Vom Hören-Sprecher her würde ich "alldem" zusammenschreiben. Ich war davon aber nicht wirklich überzeugt und hatte es gegoogelt, um sicher zu gehen und bin dabei hier gelandet. Korrekt ist die verbundene Schreibweise, was auch irgendwie Sinn macht. Man könnte statt (all) "dem" auch (all) "jenem" einsetzen und dann dürfte klar sein, dass "alldem" eine 'Zusammenrückung' der beiden Wörte darstellt und somit zusammengeschrieben wird. (siehe auch Duden)

2.) Definitiv: Man bewirbt sich für eine Stelle. Du willst dich nicht "um" die Stelle bewerben (man ergänzt im Stillen zu "um" das "drumherum") und auch, wenn es viele verwenden, ist schlichtweg falsch. Stelle dir die Stelle wie eine Lücke vor - was sie ja auch eigentlich ist. Du suchst nichts "auf" oder "um" die Lücke, sondern etwas "für" sie.

Liebe Grüße von Lisa,
Deutsch-Leistungskurslerin und Germanistikstudentin