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> Ich möchte wissen, ob die Grammatik ein Unterpunkt der
> Rechtschreibung ist. Oder ob es zwei verschiedene Gebiete sind,
> die sich unter Umständen überschneiden.

Rechtschreibung (Orthografie) und Grammatik sind formal besehen zwei getrennte Bereiche, die sich lediglich in der Praxis überschneiden. So ist der Satz "Ich können das nicht verstehen" von der Rechtschreibung her korrekt (er enthält keine falsch geschriebenen Wörter), grammatisch aber falsch. In der Praxis umfasst die Rechtschreibprüfung eines Textes aber auch die Prüfung auf dessen grammatische Richtigkeit, zu der zum Beispiel auch die korrekte Interpunktion (Zeichensetzung) gehört. Als drittes Feld kommt die semantische Prüfung (ergibt der Satz inhaltlich einen Sinn?) hinzu.

> In einer Rechtschreibüberprüfung müssen Wortarten bestimmt
> werden. Ist das noch Rechtschreibung dann oder gesondert
> Grammatik.

Das ist ganz klar Grammatik und hat mit der Rechtschreibung nichts zu tun. Rechtschreibung ist rein deskriptiv (beschreibend), nicht explizierend (erklärend).

Beispiel: Die Rechtschreibung legt nur fest, dass ein Wort groß- oder kleingeschrieben wird, nicht, warum es groß- oder kleingeschrieben wird. Allerdings sind Kenntnisse und Anwendung der Grammatik (Wortbestimmung) unabdingbar, um im Einzelfall entscheiden zu können, welche Rechtschreibung Anwendung findet (z.B. Unterschied zwischen "herzlich willkommen" und "herzliches Willkommen").

Grüße
Julian