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Bei disjunktiv koordinierten Subjekten würde ich das Verb stets im Singular verwenden, wenn sonst keine Pluralform verwendet wird, schließlich ist mit »x oder y« zunächst einmal EINES der Objekte x und y gemeint (was nicht ausschließt, dass die Aussage auch für das andere gilt!). Im tatsächlichen Sprachgebrauch wird das allerdings nicht immer so streng gehandhabt und es wird manchmal zum Plural gegriffen, sei es, weil sich eine Paraphrase mit »… oder beide« gut anbietet, weil das »oder« wie ein (distributives) »und«* wirkt (»Der Vater oder die Mutter kann/können unterschreiben« → »Beide können (jeder der beiden kann) unterschreiben«) oder weil einfach mehrere Alternativen genannt werden (?).

Übrigens ist die Annahme, dass oder auch eine exklusive Bedeutung hat, mit Grice’ Rasiermesser (Bedeutungen sollen nicht über das Notwendige hinaus vermehrt werden) wohl zurückzuweisen. Es gibt zwar Situationen, in denen klar ist, dass nicht beide Disjunkte zutreffen, das heißt aber nicht, dass die Exklusivität bereits vom Wort oder selbst explizit zum Ausdruck gebracht wird, vgl.: https://plato.stanford.edu/entries/disjunction/#DisjConv

* Ich habe mich bisher nicht intensiv damit befasst, aber vielleicht könnte das Phänomen (»Der Vater oder die Mutter kann unterschreiben«) mit inquisitiver Semantik erklärt werden: http://festschriften.illc.uva.nl/Festschrift-JMF/papers/01_AloniCiardelli.pdf