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Wenn durch den Kontext klar ist, dass er „Moore“ und nicht „Moores“ heißt, ist die Schreibweise „Moore‘s“ nicht notwendig.
Zitat
Nach der reformierten Schreibung darf der Apostroph beim Genitiv verwendet werden, um die Grundform eines Personennamens zu verdeutlichen. Im Normalfall wird jedoch kein Apostroph beim Genitiv-s verwendet.[3] Beispiele:
Andrea’s Friseursalon (richtig) – zur Abgrenzung vom Männernamen „Andreas“
Willi’s Würstchenbude (richtig) – zur Abgrenzung vom englischen Männernamen „Willis“[30]
Zitatende
https://de.wikipedia.org/wiki/Apostroph#Genitivbildung