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Hallo Ludwig,

nein, kein Komma. Denn "mit der Bitte" ist ein Satzteil und kein Teilsatz oder Zusatz.
Das erkennst du u. a. daran, dass du es nicht weglassen kannst:
"Wir fügen diesem Schriftstück einen Fragebogen bei [...] diesen ausgefüllt und zusammen mit Ihrer Rechnung zurückzusenden."
"Ihren Brief haben wir an unseren Herrn XYZ [...], ob Ihnen Ihr zu viel gezahlter Betrag zurückerstattet werden kann, weitergereicht."

Diese Sätze geben wohl so keinen Sinn ...

Gruß Antonia