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> Ist der Infinitiv hier erweitert,oder nicht? Oder ist das Ganze,
> also : "die er zu erreichen hofft" der erweiterte
> Infinitv?

Nach Dudensprachgebrauch heißt das jetzt nicht mehr "erweiterter Infinitiv", sondern "Infinitivgruppe". Im Satz ...

"Die Abspaltung, die er zu erreichen hofft, gelingt ihm nicht."

... ist lediglich "zu erreichen" der erweiterte Infinitiv bzw. die Infinitivgruppe, wenn man den Satz ohne Infinitivgruppe bilden würde, würde er wie folgt lauten:

"Die Abspaltung, von der er hofft, dass er sie erreicht, gelingt ihm nicht."

Semantisch ist der Satz allerdings etwas zweifelhaft, da "gelingen" sich fälschlich direkt auf "Abspaltung" bezieht. Eine Abspaltung findet indes nur statt oder eben nicht, sie kann einem aber nicht "gelingen". Was "ihm" im Zweifel gelingt, ist nicht die Abspaltung, sondern das Erreichen derselben. Richtiger wäre:

"Es gelingt ihm nicht, die Abspaltung, auf die er hofft, zu erreichen."

Grüße
Julian