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> 1: "Er hatte versprochen den Briefkasten zu leeren."
> 2: "Ich weiß nicht, was ich anfangen soll."
Vollprofi hat es erklärt, aber ich versuche es noch mal:
Sätze besitzen Subjekt (Wer oder was?) und Prädikat (Was tut das Subjekt?).
In Beispiel 1 ist der markierte Teil ein Satz - und zwar ein Hauptsatz. Der unmarkierte Teil ist kein Satz, weil ihm sowohl das Subjekt fehlt als auch das Prädikat. Er besitzt lediglich den Infinitiv eines Verbs und wird Infinitivgruppe genannt. Für Infinitivgruppen gelten besondere Regeln der Zeichensetzung, wann sie mit Komma abgetrennt werden müssen und wann nicht. In deinem Beispiel ist das Komma optional.
In Beispiel 2 haben wir es mit zwei Sätzen zu tun. Der erste ist ein Hauptsatz (finites Verb steht an 2. Stelle), der zweite ist ein Nebensatz (finites Verb steht am Satzende). Zwischen Haupt- und Nebensätzen steht immer ein Komma.
Gruß von Kai